물리량과 확률통계

강체 물리엔진을 만들때 꼭 필요한 물체의 질량특성들 (질량 밀도, 질량 중심, 관성 모멘트, 광성 텐서) 과, 확률통계에서 나오는 개념들 (확률밀도함수, 기대값, 분산, 공분산) 을 계산하다 보면 식이 굉장히 비슷한 걸 알 수 있습니다. 이것들을 비교해 보도록 하겠습니다.

1. 확률 밀도 함수, 질량 밀도 함수

    \[\int p(x)dx = 1\]

    \[s.t. \, p(x) \ge 0 \; \forall x\]

    \[\frac{1}{m}\int \rho(x)dx = 1\]

    \[s.t. \, \rho(x) \ge 0 \; \forall x\]

2. 기대값, 질량 중심

    \[E[f(x)] = \int f(x)p(x)dx\]

    \[\bar{x} = \frac{1}{m}\int x\rho(x)dx\]

3. 분산, 관성 모멘트

    \[V[f(x)] = E\left[(f(x) - E[f(x)])^2\right]\]

    \[= E[(f(x))^2] - (E[f(x)])^2\]

    \[I_{\bar{x}} = \int (x - \bar{x})^2 \rho(x) dx\]

    \[= I_0 - m \bar{x}^2\]

4. 공분산 행렬, 관성 텐서

    \[Cov(x, y, z) = \begin{bmatrix} cov(x, x) & cov(x, y) & cov(x, z) \\ cov(y, x) & cov(y, y) & cov(y, z) \\ cov(z, x) & cov(z, y) & cov(z, z) \end{bmatrix}\]

    \[I = tr(C)E_3 - C\]

    \[C = \rho(x) \begin{bmatrix}(x - \bar{x})^2 & (x - \bar{x})(y - \bar{y}) & (x - \bar{x})(z - \bar{z}) \\ (x - \bar{x})(y - \bar{y}) & (y - \bar{y})^2 & (y - \bar{y})(z - \bar{z}) \\ (x - \bar{x})(z - \bar{z}) & (y - \bar{y})(z - \bar{z}) & (z - \bar{z})^2\end{bmatrix}\]

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