선형대수 note 1: Geometry of linear equations

선형 연립 방정식의 예를 들어보자.

    \[\begin{aligned} 2x - y &= 0 \\ -x + 2y &= 3  \end{aligned}\]

이 연립 방정식은 아래와 같이 행렬과 벡터의 곱 형태로 나타낼 수 있다.

    \[\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix}\]

    \[A\mathbf{x} = \mathbf{b}\]

이것의 기하학적 의미를 알아보자.

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방정식이 나타내는 기하(Geometry) 들의 교차(Intersection) 가 A\mathbf{x} = \mathbf{b} 의 solution 이 된다. 예를 들어 A2\times2 행렬이면 두 직선의 교차를, 3\times3 행렬이라면 세 평면의 교차를 나타낸다. 1

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\mathbf{x}A 의 열 벡터들의 선형 결합 계수다. 다시 말해 A 의 열 벡터들의 선형결합으로 \mathbf{b} 를 나타낼 수 있다면 해가 존재한다. \mathbf{b} 에 도달하기 위해 A 의 열 벡터들을 늘이거나 줄이는 그림을 상상해보자.


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  1. 물론 b_i 에 의해 원점에서 shift 된 평면이다.

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