선형대수 note 3: Multiplication and Inverse Matrices

행렬끼리의 곱셈 방법 4 가지를 정리해보자.

    \[A B = C\]

여기서 Am \times n 행렬, Bn \times p 행렬이고 결과행렬인 Cm \times p 행렬이다.

1. regular way – 성분 별 dot product

    \[\begin{bmatrix} & & & & \\ a_{i1} & a_{i2} & a_{i3} & \cdots & a_{in} \\ & & & & \end{bmatrix} \begin{bmatrix} & b_{1j} & \\ & b_{2j} & \\ & b_{3j} & \\ & \vdots & \\ & b_{nj} & \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} & & \\ & c_{ij} & \\ & & \end{bmatrix} ,\quad c_{ij} = \sum_{k=0}^n a_{ik} b_{kj}\]

2. column way – 열들의 선형 결합

    \[\begin{bmatrix} | & | & | & & | \\ \vec{a}_1 & \vec{a}_2 & \vec{a}_3 & \cdots & \vec{a}_n \\ | & | & | & & | \end{bmatrix} \begin{bmatrix} & b_{1j} & \\ & b_{2j} & \\ & b_{3j} & \\ & \vdots & \\ & b_{nj} & \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} & | & \\ & \vec{c}_j & \\ & | & \end{bmatrix} ,\quad \vec{c}_j = \sum_{k=0}^n \vec{a}_k b_{kj}\]

3. row way – 행들의 선형 결합

    \[\begin{bmatrix} & & & & \\ a_{i1} & a_{i2} & a_{i3} & \cdots & a_{in} \\ & & & & \end{bmatrix} \begin{bmatrix} - & \vec{b}_1 & - \\ - & \vec{b}_2 & - \\ - & \vec{b}_3 & - \\ & \vdots & \\ - & \vec{b}_n & - \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} & & \\ - & \vec{c}_i & - \\ & & \end{bmatrix} ,\quad \vec{c}_i = \sum_{k=0}^n a_{ik} \vec{b}_k\]

4. Ak 번째 열과 Bk 번째 행의 곱셈 결과 행렬들을 모두 더함

    \[\begin{bmatrix} | & & \\ \vec{a}_1 & & \\ | & & \end{bmatrix} \begin{bmatrix} - & \vec{b}_1 & - \\ & & \\ & & \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} & | & \\ & \vec{a}_2 & \\ & | & \end{bmatrix} \begin{bmatrix} & & \\ - & \vec{b}_2 & - \\ & & \end{bmatrix} + \cdots + \begin{bmatrix} & & | \\ & & \vec{a}_n \\ & & | \end{bmatrix} \begin{bmatrix} & & \\ & & \\ - & \vec{b}_n & - \end{bmatrix} = C ,\quad C = \sum_{k=0}^n \vec{a}_k \vec{b}_k\]


지난번 포스트에서 Gauss Elimination 을 설명했었다. 이어서 Gauss-Jordan Elimination 으로 역행렬을 구할 수 있다.

    \[A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} ,\quad A\mathbf{y} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]

위의 두식을 합쳐서 Forward elimination 후에 행들을 1 로 scale 하고, Backward elimination 을 수행한다.

    \[\begin{bmatrix} A & I \end{bmatrix} \xrightarrow{E} \begin{bmatrix} I & E \end{bmatrix} \therefore E = A^{-1}\]


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