선형대수 note 5: Transposes, permutations, space R^n

치환 (Permutation) 행렬의 종류

치환 행렬은 행을 교환하는가 열을 교환하는가에 따라 2 가지가 있다.

1. row permutation: 행렬의 앞(좌변)에 곱해서 행을 교환한다.

ex)

    \[\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}\]

2. column permutation: 행렬의 뒤(우변)에 곱해서 열을 교환한다.

    \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 5 & 6 & 4 \\ 8 & 9 & 7 \end{bmatrix}\]

치환 행렬의 특징

  • n \times n 행렬 P 의 가짓수는 n! 이다.
  • 원래 위치로 되돌릴 수 있음이 명백하므로 역행렬이 존재한다.
  • P P^T 에서 Pi 번째 행과 i 번째 열의 dot product 만이 1 이고 나머지 성분은 0 이므로 역행렬은 P^T 가 된다.

전치 (Transpose) 행렬은 행과 열이 뒤바뀐 행렬을 말한다.

A^T A 는 대칭 행렬이다.

    \[(A^T A)^T = A^T A^{TT} = A^T A\]


실수 벡터 공간 (real vector space) V 는 벡터들로 이루어진 집합을 나타내고, V 의 벡터들은 상수배와 덧셈 즉, 선형결합 (linear combination) 에 닫혀있다.

    \[V = \{ (x_0, \dots, x_{n-1}) \mid x_0, \dots, x_{n-1} \in \mathmm{R} \}\]

부분 공간 (sub space) W 는 벡터 공간 V 의 부분 집합이고, W 의 원소들은 선형결합에 닫혀있다.

    \[W = \{ (x_0, \dots, x_{n-1}) \mid x_0, \dots, x_{n-1} \in \mathmm{R}, W \subseteq V \}\]


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