선형대수 note 6: Column space and nullspace

Vector space & Sub space 를 두줄로 정리하면,

  • Vector space 는 원소 (vector) 들의 선형 결합 (c_1 \mathbf{v} + c_2 \mathbf{w}) 에 닫혀 있어야 한다.
  • Sub space 는 Vector space 안에 존재하는 Vector space 다.

Sub space S 와 T 가 있다고 하자. 그러면,

S \cup T1 는 Sub space 가 아니다.
S \cap T2 는 Sub space 다.
S + T3 는 Sub space 다.

Column space

행렬 A 의 Column space 는 A 의 열들의 선형 결합으로 이루어진 Sub space 를 말한다.
A\mathbf{x}A 열들의 선형 결합이다. A\mathbf{x} = \mathbf{b} 에서 \mathbf{b}A 의 Column space 에 존재해야만 \mathbf{x} 의 해가 존재한다.

Null space

A\mathbf{x} = \mathbf{0} 의 모든 해집합은 Vector space 를 이루고, 이를 Null space 라고 부른다.
A\mathbf{v} = \mathbf{0}, A\mathbf{w} = \mathbf{0} 이면, A(\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{0} 이고, A(c_1 \mathbf{v} + c_2 \mathbf{w}) = \mathbf{0} 이므로, A\mathbf{x} = \mathbf{0} 의 해집합은 Vector space 를 이룬다.


선형대수 note 목록

  1. S 와 T 의 union space
  2. S 와 T 의 intersection space
  3. S 와 T 의 선형 결합 space

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