선형대수 note 8: Solving Ax = b row reduced form R

지난 강의에서는 영공간의 해 즉, A\mathbf{x} = \mathbf{0} 의 해를 구하는 알고리즘을 살펴봤다.
이번에는 선형 시스템 A\mathbf{x} = \mathbf{b} 을 계산하는 알고리즘을 알아본다.

독립 변수 x, y 와 종속 변수 z 를 갖는 방정식의 형태는,

(1)   \[ z = a_1 x + a_2 y + a_3\]

이것을 선형 시스템으로 바꿔쓰면,

    \[\begin{aligned} z - a_1 x - a_2 y &= a_3 \\ \begin{bmatrix} 1 & -a_1 & -a_2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z \\ x \\ y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} a_3 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ A\mathbf{x} &= \mathbf{b} \end{aligned}\]

A 는 1 개의 pivot 변수와 2 개의 free 변수를 갖는 3 \times 3 행렬이다.

잠시 A\mathbf{x} = \mathbf{0} 형태를 생각해보자. 이것의 해는 이전 포스팅에서 설명했다시피 특수해 (Special solution) 들의 선형 결합이므로

    \[A\mathbf{x}_n = 0\]

    \[\mathbf{x}_{n} = c_1 \begin{bmatrix} a_1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} a_2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]

다시 A\mathbf{x} = \mathbf{b} 로 돌아와 보자.

이번에는 모든 free 변수에 0 을 대입하여 특정해 (Particular solution) \mathbf{x}_{p} 를 구한다. 특정해라는 것은 원점에서 shift 된 상수 벡터를 구하는 것이다. 식 (1) 에서 x, y0 을 대입해서 얻는것은 원점에서 떨어진 z 절편의 값이다. 같은 개념이다. 모든 선형 방정식을 구하는 패턴은 동일하다. 미지수에 0 을 대입하면 상수항을 얻을 수 있다.

    \[A\mathbf{x}_p = \mathbf{b}\]

    \[\mathbf{x}_{p} = \begin{bmatrix} a_3 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]

\mathbf{x}_{p} 를 구했으니 이제 \mathbf{x}_{n} 과 더하면 A\mathbf{x} = \mathbf{b} 의 완전해 (Complete solution) \mathbf{x}_c 을 구할 수 있다. 완전해는 원점에서 shift 된 sub-space 를 의미한다.

    \[A\mathbf{x}_{c} = A(\mathbf{x}_{p} + \mathbf{x}_{n})\]

    \[\begin{aligned} \mathbf{x}_{c} &= \mathbf{x}_{p} + \mathbf{x}_{n} \\ \mathbf{x}_{c} &= \begin{bmatrix} a_3 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + c_1 \begin{bmatrix} a_1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} a_2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{aligned}\]

위의 식은 식 (1) 을 다르게 표현한 것에 불과하다. 원래 연립 방정식이 아니었으므로 식 (1) 자체로 사실 해를 표현한 것이 된다. 해가 존재한다면1 이러한 일반적인 과정을 거쳐서 A\mathbf{x} = \mathbf{b} 의 해를 구할 수 있게 된다.


행렬의 rank 는 선형독립인 열의 개수이다. 다시 말해 elimination 후 pivot 열의 개수다.2

r rank 를 갖는 m \times n 행렬 A 가 있다고 하자. 행렬 RA 의 RREF 이다.

r = m = n 3 r = n < m 4 r = m < n 5 r < m, r < n
R = I R = \begin{bmatrix} I \\ 0 \end{bmatrix} 6 R = \begin{bmatrix} I & F \end{bmatrix} 7 R = \begin{bmatrix} I & F \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
A\mathbf{x} = \mathbf{b} 의 해는 오직 1 개만 존재한다 A\mathbf{x} = \mathbf{b} 의 해는 1 개 or 존재하지 않는다. A\mathbf{x} = \mathbf{b} 의 해는 \infty 로 존재한다. A\mathbf{x} = \mathbf{b} 의 해는 존재하지 않거나 \infty 로 존재한다.

선형대수 note 목록

  1. elimination 중에 행이 0 이고 b 의 성분이 0 이 아닐 때 해가 존재하지 않는다는 걸 알 수 있다
  2. 선형 독립인 행의 개수와도 같다. column rank = row rank
  3. full rank 역행렬이 존재하는 정방 행렬
  4. full column rank 의 여분의 행이 있는 세로로 긴 직사각 행렬
  5. full row rank 의 가로로 긴 직사각 행렬
  6. 0 행에 해당하는 b 의 성분이 0 이어야 해가 존재한다.
  7. I 와 F 의 열들은 섞여있을 수 있다.

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