선형대수 note 9: Independence, basis, and dimension

벡터들의 선형 독립 (Linearly independent) 이라는 것은 벡터들 중에 어떤 벡터도 나머지 벡터들의 선형 결합으로 만들어 질 수 없는 상태를 말한다. 만약 어떤 벡터가 다른 벡터들의 선형 결합으로 만들어질 수 있다면 이를 선형 종속 (Linearly dependent) 이라고 한다.

행렬 A 의 열공간을 생각해보자. A 의 열들을 \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \dots, \mathbf{v}_n 벡터라고 하면, 이 열 벡터들은 오직 N(A) = \vec{0} 일 때에만 선형 독립이다. 반대로 A\mathbf{x} = \mathbf{0}\vec{0} 이 아닌 해가 존재한다면, 열벡터들은 선형 종속이다.

공간을 생성 (Spanning) 한다는 것은 벡터들이 선형 결합함으로써 만들어지는 벡터 공간을 말한다.

열 공간은 열 벡터들의 선형 결합 (Ax) 으로 생성이 된다. 열 벡터들은 그럼 선형 독립인가? 그럴 수도, 아닐 수도 있다. 하지만 만약 선형 독립이면서 선형 결합으로 전체 공간을 생성한다면 이 벡터들을 기저 (basis) 라고 부른다. 열 벡터들이 기저 벡터로 이루어진 행렬은 당연히 정방 행렬이고 역행렬을 갖는다.

주어진 공간에서 기저는 여러가지가 있을 수 있다. 하지만 모든 기저는 같은 수의 벡터를 갖는다. 이를 차원 (dimension) 이라고 부른다.

ex)

    \[\begin{aligned} dim(\mathbb{R}^3) &= 3 \\ dim(C(A)) &= \text{number of pivot variables} \\ dim(N(A)) &= \text{number of free variables} \end{aligned}\]

\mathbb{R}^3 의 임의의 기저는 세 개의 기저 벡터를 가지고, 3 차원 공간을 생성한다. \mathbb{R}^n 벡터 공간의 여러 기저들 중에 아래와 같은 표준기저 (standard basis)를 정의할 수 있다.

    \[\begin{aligned} \mathbf{e}_1 &= (1, 0, \dots, 0) \\ \mathbf{e}_2 &= (0, 1, \dots, 0) \\ \vdots \\ \mathbf{e}_n &= (0, 0, \dots, 1)  \end{aligned}\]


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