선형대수 note 10: The four fundamental subspaces

일반적인 rank r 을 갖는 m \times n 행렬 A 와 관련된 4 개의 부분공간 (Subspaces) 에 대해서 설명한다. 2 개는 \mathbb{R}^n 의 부분공간이고, 나머지 2 개는 \mathbb{R}^m 의 부분공간이다.

4-fundamental-subspaces

열 공간 (Column space) C(A) 영 공간 (Null space) N(A) 행 공간 (Row space) C(A^T) 좌영 공간 (Left null space) N(A^T)
설명 A\mathbf{x} 의 모든 벡터 공간 A\mathbf{x} = \mathbf{0} 의 해 공간 A^T \mathbf{x} 의 모든 벡터 공간 A^T \mathbf{x} = \mathbf{0} 의 해 공간1
전체 공간 \mathbb{R}^m 2 \mathbb{R}^n 3 \mathbb{R}^n 4 \mathbb{R}^m 5
차원 (dimension) r n - r r m - r

다음은 4 Subspace 안의 벡터들의 변환 관계를 나타낸 그림이다.

4-subspaces-and-vector-map

  • A 의 row space 에 있는 벡터 \mathbf{y}A 를 곱하면 A 의 column space 에 있는 벡터 \mathbf{p} 로 변환 (A\mathbf{y} = \mathbf{p})
  • A 의 null space 에 있는 벡터 \mathbf{z}A 를 곱하면 \mathbf{0} 으로 변환 (A\mathbf{z} = \mathbf{0})
  • \mathbf{y} + \mathbf{z}A 에 의해서 \mathbf{p} 로 변환

선형대수 note 목록

  1. A^T \mathbf{x} = \mathbf{0} 의 해 공간은 바꾸어 쓰면 \mathbf{x}^T A = \mathbf{0} 과 같으므로 좌영 공간이라고 부른다.
  2. A 의 열 벡터는 m 차원 벡터이므로 \mathbb{R}^m 안에 존재한다.
  3. A\mathbf{x} = \mathbf{0} 의 해 공간 벡터는 n 차원 벡터이므로 \mathbb{R}^n 안에 존재한다.
  4. A 의 행 벡터는 n 차원 벡터이므로 R^n 안에 존재한다.
  5. A^T \mathbf{x} = \mathbf{0} 의 해 공간 벡터는 m 차원 벡터이므로 \mathbb{R}^m 안에 존재한다.

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