선형대수 note 11: Matrix spaces; rank 1; small world graphs

이번에는 벡터 공간을 정의할 때 벡터 대신에 다른걸 이용해 보자. 벡터 대신에 3 \times 3 행렬을 생각해보자. 3 \times 3 행렬은 선형 결합이 가능하고, 선형 결합은 3 \times 3 행렬이므로 공간에 닫혀있으므로 행렬 공간이라고 할 수 있다.

이 행렬 공간을 M 이라고 하자. M 은 아래와 같은 9(3 \times 3) 차원의 표준 기저를 생각해 볼 수 있다.

    \[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},  \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},  \dots \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

M 의 부분 공간 (Sub space) 으로는 상삼각 행렬과 대칭 행렬을 생각할 수 있다. 상삼각 행렬 공간 U 와 대칭 행렬 공간 S 가 있다고 하면, 이들의 교 (Intersection) 공간은 대각 행렬 D 이다.

    \[U \cap S = D\]

이들의 차원 (Dimension) 은,

dim(U) = 6
dim(S) = 6
dim(U \cap S) = dim(D) = 3
dim(U + S) = dim(M) = 9

그러면 아래와 같은 관계식이 성립함을 알 수 있다.

dim(U) + dim(S) = dim(U \cap S) + dim(U + S) = 12


rank 1 행렬


선형대수 note 목록

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *