선형대수 note 18: Properties of determinants

지난 강의들에서는 일반적인 m \times n 행렬에 대한 얘기를 해왔다. 지금부터는 정사각행렬에 집중하기로 한다.
판별식 (determinant) 은 정사각행렬에서만 정의되는데 이것은 그 행렬이 가지고 있는 어떤 속성을 나타내는 하나의 값이다. 판별식은 행렬이 나타내는 선형 변환이 넓이나 부피를 확장시키는 정도라고도 볼 수 있다. 또한 역행렬과 관련이 있다. 예를 들어 2 \times 2 행렬에서의 판별식 ad - bc 는 역행렬을 구할때 항상 따라왔었다. 어떤 정사각행렬 A 의 판별식이 0 이 아니라면 A 는 가역행렬 (invertible matrix) 이다. 반대로 판별식 0 이라는 얘기는 역행렬이 존재하지 않으며, 특이행렬 (singular matrix) 이라는 뜻이다.

판별식은 det(A) = |A| 로 표기하는데 2 \times 2 행렬의 판별식은 다음과 같이 표기한다.

    \[det A = |A| =  \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}\]

판별식은 3 개의 기본 성질이 있다. 이 3 개의 성질을 이용해서 어떤 행렬의 판별식이든 구할 수 있다. 전체 10 가지 성질을 알아볼텐데 1, 2, 3 이 가장 중요하고, 나머지 성질들은 여기로부터 유도된다.

1) 단위 행렬의 판별식은 1

이것은 3 차원에서의 단위 육면체의 부피와 같다. (2 차원에서는 정사각형의 넓이)

    \[\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1\]

2) 행들을 교환하는 것은 판별식의 부호를 바꾼다.

    \[\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} c & d \\ a & b \end{vmatrix}\]

3a) 한행에 t 를 곱하는 것은 판별식에 t 를 곱하는 것과 같다.

    \[\begin{vmatrix} ta & tb \\ c & d \end{vmatrix} =  t \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}\]

3b) 한행에 row vector 를 더하면 다른 행들은 같고 해당 행이 row vector 인 행렬의 판별식으로 분리할 수 있다.

    \[\begin{vmatrix} a + a' & b + b' \\ c & d \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} +  \begin{vmatrix} a' & b' \\ c & d \end{vmatrix}\]

3a, 3b 를 종합하면 판별식이 한 행에 대해서만 선형결합이 되는 걸로 생각할 수 있다.

4) 행렬의 두개의 행이 같다면 판별식은 0 이다.

두 행이 같은 행렬의 행을 교환하면 같은 행렬이 된다. 행렬이 같으면 판별식도 같다. 그런데 행을 이미 교환했으므로 2. 에 의해서 부호가 달라졌어야 한다. 결국 판별식은 0 일 수 밖에 없다.

5) 한 행의 상수배를 해서 다른 행에 더해도 판별식은 영향이 없다.

    \[\begin{vmatrix} a & b \\ c + ta & d + tb \end{vmatrix}\]

3a, 3b 에 의해,

    \[\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} +  t\begin{vmatrix} a & b \\ a & b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}\]

    \[\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} =  \begin{vmatrix} a & b \\ 0 & d - b \frac{c}{a} \end{vmatrix} = ad - bc\]

6) 한 행이 전부 0 이라면 판별식은 0 이다.

3a 의 t = 0 이라면 판별식은 0 이다.

7) 상삼각행렬 U 의 판별식은 모든 대각성분의 곱이다.

5 에 의해 Backward elimination 을 해도 판별식은 같다. 3a 에 의해,

    \[\begin{vmatrix} d_1 & & \\ & d_2 & \\ & & d_3 \end{vmatrix} =  d_1 d_2 d_3 \begin{vmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 1 \end{vmatrix}\]

8) A 가 특이행렬일때 판별식은 0 이다.

4, 6 은 특이행렬을 나타낸다. 즉, 특이행렬의 판별식은 0 이란 말을 내포한다.

9) det(AB) = det(A) det(B)

10) det(A^T) = det(A)

2, 3, 4, 5, 6 이 열에 대해서도 성립한다.


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