선형대수 note 19: Determinant formulas and cofactors

지난 강의에서 판별식 (determinant) 세가지 기본 성질을 다시 정리하면,

1) det(I) = 1
2) 행 교환으로 부호가 바뀐다.
3) det(A) 는 각 행에 대하여 선형 결합으로 표현된다.

위의 성질로 2\times 2 의 판별식을 구해보자.

    \[\begin{aligned} \left| \begin{array}{ccc} a & b \\ c & d \end{array} \right|  &=  \left| \begin{array}{ccc} a & 0 \\ c & d \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 0 & b \\ c & d \end{array} \right| \\  &= \left| \begin{array}{ccc} a & 0 \\ c & 0 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} a & 0 \\ 0 & d \end{array} \right| +  \left| \begin{array}{ccc} 0 & b \\ c & 0 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 0 & b \\ 0 & d \end{array} \right| \\  &= 0 + ad + (-cb) + 0 \\ &= ad - bc \end{aligned}\]

3) 에 의해 전체 판별식은 각 행에 하나의 성분만 존재하는 판별식으로 분리가 된다. 2 \times 2 행렬에서는 4 개의 항의 덧셈으로, 3 \times 3 행렬에서는 27 개 항의 덧셈으로 분리된다. 하지만 동일한 열에 성분이 존재한다면 0 인 열이 있다는 뜻이므로 그 판별식은 0 이 된다. 따라서 전체 판별식은 각 행과 열에 성분이 하나씩만 존재하는 판별식의 합이 된다. 그렇다면 전체 항들은 치환행렬 (permutation matrix) 의 종류의 개수인 n! 과 같다.

이번에는 3 \times 3 행렬의 판별식을 구해보자.

    \[\begin{aligned} \left| \begin{array}{ccc}  a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}  \end{array} \right|  &=\left| \begin{array}{ccc}  a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33}  \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc}  a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{23} \\ 0 & a_{32} & 0  \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc}  0 & a_{12} & 0 \\ a_{21} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{33}  \end{array} \right| \\ &+ \left| \begin{array}{ccc}  0 & a_{12} & 0 \\ 0 & 0 & a_{23} \\ a_{31} & 0 & 0  \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc}  0 & 0 & a_{13} \\ a_{21} & 0 & 0 \\ 0 & a_{32} & 0  \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc}  0 & 0 & a_{13} \\ 0 & a_{22} & 0 \\ a_{31} & 0 & 0  \end{array} \right| \\  &=  a_{11} a_{22} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} \\ &+ a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31}  \end{aligned}\]

n \times n 행렬의 판별식 내부에 (n-1) \times (n-1) 행렬의 판별식이 나타나는데 이를 여인수 (cofactor) 라고 부른다.
3 \times 3 행렬의 판별식으로 예를 들면,

    \[\begin{aligned} det(A) &= \left| \begin{array}{ccc}  a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}  \end{array} \right| \\ &=  a_{11} a_{22} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32} +  -a_{12} a_{21} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} +  a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} \\ &=  a_{11} (a_{22} a_{33} - a_{23} a_{32}) +  a_{12} (-a_{21} a_{33} + a_{23} a_{31}) +  a_{13} (a_{21} a_{32} - a_{22} a_{31}) \\ &= a_{11} C_{11} +  a_{12} C_{12} + a_{13} C_{13}\]

여인수 C_{ij} 는 다음과 같이 쓸 수 있다.

    \[C_{ij} = (-1)^{i + j} det(\tilde{A}_{ij})\]

여기서 \tilde{A}_{ij}A 에서 i 번째 행과 j 번째 열을 삭제한 행렬이다.1
판별식안에는 여인수가 있고, 여인수 안에는 서브 행렬의 판별식이 있다. 결과적으로 판별식안의 판별식을 구해야 하므로 재귀적이 되어 아래와 같이 정리된다.

    \[det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij},\quad C_{ij} = (-1)^{i + j} det(\tilde{A}_{ij})\]

물론 det(A) = det(A^T) 이므로 아래도 맞다.

    \[det(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij},\quad C_{ij} = (-1)^{i + j} det(\tilde{A}_{ij})\]


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  1. minor matrix 라고도 부른다.

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