선형대수 note 20: Cramer’s rule, inverse matrix, and volume

역행렬

지난 강의에서 행렬의 판별식 (determinant) 은 임의의 행 또는 열 벡터와 그 성분의 여인수 (cofactor) 의 내적 (dot product) 으로 표현할 수 있었다. 판별식을 이용하여 여러가지 공식들을 도출할 수 있는데 먼저 역행렬에 대해서 알아보자.

    \[A^{-1} = \frac{1}{det(A)} C^T\]

여기서 C 는 여인수로 이루어진 여인수 행렬이다.1 어째서 역행렬을 이렇게 구할 수 있는 걸까?
양변의 A 를 곱해서 식을 고쳐쓰면,

    \[\begin{aligned} I &= \frac{1}{det(A)} A C^T \\ det(A) I &= A C^T \\ \begin{bmatrix} det(A) & & & \\ & det(A) & & \\ & & \ddots & \\ & & & det(A) \end{bmatrix} &=  \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\  a_{21} & a_{22} & & a_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\  C_{12} & C_{22} & & C_{n2} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix} \end{aligned}\]

AC^T 의 대각 성분들은

    \[\begin{aligned} a_{11} C_{11} + a_{12} C_{12} + a_{13} C_{13} + \dots + a_{1n} C_{1n} &= det(A) \\ a_{21} C_{21} + a_{22} C_{22} + a_{23} C_{23} + \dots + a_{2n} C_{2n} &= det(A) \\ \vdots \\ a_{n1} C_{n1} + a_{n2} C_{n2} + a_{33} C_{33} + \dots + a_{nn} C_{nn} &= det(A) \\ \end{aligned}\]

가 되고, 그 외에 성분들은 두개의 행이 같은 행렬의 판별식과 같다. 두개의 행이 같은 행렬의 판별식은 0 이다.

Cramer’s rule

크레이머의 공식은 연립 방정식의 해를 판별식의 형태로 구하는 방법이다. A 의 역행렬이 존재할 때 A\mathbf{x} = \mathbf{b} 의 해를 구하는 식은,

    \[\begin{aligned} A\mathbf{x} &= \mathbf{b} \\ \mathbf{x} &= A^{-1}\mathbf{b} \\ &= \frac{1}{det(A)} C^T \mathbf{b} \end{aligned}\]

x_i 는 여인수 행렬 Ci 번째 열과 \mathbf{b} 의 내적 (dot product) 을 det(A) 로 나눈값이다. A3\times 3 행렬이라면,

    \[\begin{aligned} x_1 = \frac{C_1^T \mathbf{b}}{det(A)} \\ x_2 = \frac{C_2^T \mathbf{b}}{det(A)} \\ x_3 = \frac{C_3^T \mathbf{b}}{det(A)} \end{aligned}\]

위의 식은 다음과 같이 고쳐쓸 수 있다.

    \[x_1 = \frac{det(B_1)}{det(A)},  \quad B_1 = \begin{bmatrix} b_1 & a_{21} & a_{31} \\ b_2 & a_{22} & a_{32} \\ b_3 & a_{23} & a_{33} \end{bmatrix}\]

    \[x_2 &= \frac{det(B_2)}{det(A)}, \quad B_2 = \begin{bmatrix} a_{11} & b_1 & a_{31} \\ a_{12} & b_2 & a_{32} \\ a_{13} & b_3 & a_{33} \end{bmatrix}\]

    \[x_3 &= \frac{det(B_3)}{det(A)}, \quad B_3 = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & b_1 \\ a_{12} & a_{22} & b_2 \\ a_{13} & a_{23} & b_3 \end{bmatrix}\]

크레이머의 공식은 대수적으로는 깔끔해 보일 수 있으나 3 차원 행렬을 넘어가 버리면 알고리즘적으로 너무 복잡해진다.

평행 육면체의 부피

판별식의 절대값은 각 행이 이루는 n 차원의 평행 육면체의 부피를 나타낸다. 판별식의 세가지 속성을 적용하면,

1) |det(I)| = 1
단위 육면체의 부피는 1 이다.

2) 행들을 교환하는 것은 판별식의 부호를 바꾼다.
행의 교환은 평행 육면체를 유지한다. 즉, 부피를 변하게 하지는 않는다.

3a) 한 행에 t 를 곱하는 것은 판별식에 t 를 곱하는 것과 같다.
하나의 벡터를 t 배를 한 것이므로 부피도 t 배가 된다.

3b) 한행에 row vector 를 더하면 다른 행들은 같고 해당 행이 row vector 인 행렬의 판별식로 분리할 수 있다.

    \[\begin{vmatrix} a + a' & b + b' \\ c & d \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} +  \begin{vmatrix} a' & b' \\ c & d \end{vmatrix}\]

원래의 평행육면체의 부피에 추가 벡터만큼의 평행육면체의 부피가 더해지는 것이다.

교차곱 (cross product)

두개의 3 차원 벡터의 교차곱 (or 벡터곱) 은 다음과 같이 판별식의 형태로 정의한다.

    \[\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \left| \begin{array}{ccc}  \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{array} \right|  = (u_2 v_3 - u_3 v_2) \mathbf{i} + (u_3 v_1 - u_1 v_3) \mathbf{j} + (u_1 v_2 - u_2 v_1) \mathbf{k}\]

첫번째 행에 숫자 대신 벡터2가 들어갔지만 3 \times 3 판별식으로 교차곱을 기억하면 쉽게 기억할 수 있다. 교차곱의 성질은 판별식에서 찾을 수 있다.

1) \mathbf{u}, \mathbf{v} 를 교환하면 판별식의 부호가 바뀌므로 \mathbf{u} \times \mathbf{v} = -(\mathbf{v} \times \mathbf{u})

2) \mathbf{u} = \mathbf{v} 라면 판별식에 같은 행이 나타나므로 \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{0}

3) (\mathbf{u} \times \mathbf{v})\mathbf{u} 와 수직이다 (\mathbf{v} 도 마찬가지).

    \[\begin{aligned} \mathbf{u} \cdot (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) &= u_1 (u_2 v_3 - u_3 v_2) + u_2 (u_3 v_1 - u_1 v_3) + u_3 (u_1 v_2 - u_2 v_1) \\ &= 0 \end{aligned}\]

\mathbf{u}\mathbf{v} 가 평행할 때 교차곱 (벡터곱) 은 \mathbf{0} 이다. \mathbf{u}\mathbf{v} 가 수직일 때 스칼라곱 (점곱) 은 0 이다.

    \[\|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\| = \|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\||sin\theta|\]

    \[|\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}| = \|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\||cos\theta|\]

\mathbf{u} \times \mathbf{v} 의 길이는 \|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\||sin\theta| 이므로 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이와 같다.

스칼라 삼중곱 (scalar triple product)

벡터곱 후에 스칼라곱 한 것을 말한다. 결과가 스칼라이므로 스칼라 삼중곱이라고 한다.

    \[\begin{aligned} (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} &= \left| \begin{array}{ccc}  u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{array} \right| \\ &= \left| \begin{array}{ccc}  v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{array} \right| &= (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) \cdot \mathbf{u} \\ &= \left| \begin{array}{ccc}  w_1 & w_2 & w_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{array} \right| &= (\mathbf{w} \times \mathbf{u}) \cdot \mathbf{v} \end{aligned}\]

벡터의 스칼라 삼중곱 (scalar triple product) = 세 벡터가 이루는 판별식 = 세 벡터가 이루는 평행육면체의 부피


선형대수 note 목록

  1. 여인수 행렬의 전치를 수반 행렬 (adjugate matrix) 이라고 부른다.
  2. \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\mathrm{R}^3 의 표준 정규 직교기저 벡터다

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