선형대수 note 21: Eigenvalues and Eigenvectors

이번에도 역행렬과 마찬가지로 정사각행렬에 대해서 다룬다. 고유값 (Eigenvalue) 과 고유벡터 (Eigenvector) 는 행렬에 내재된 선형변환의 어떠한 특성을 나타낸다. 벡터 \mathbf{x} 를 행렬 A 로 선형변환한 결과가 \mathbf{x} 의 상수배로 나타나는 \mathbf{0} 이 아닌 벡터 \mathbf{x} 를 고유벡터, 그 상수값 \lambda 를 고유값이라고 한다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

    \[A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}\]

만약 고유값이 0 이라면 A\mathbf{x} = \mathbf{0} 가 되어 고유벡터는 영공간 (Nullspace) 안의 벡터가 된다. 즉, A 가 특이행렬 (Singular matrix) 이라면 \lambda0 을 포함한다.

Calculating eigenvalues and eigenvectors

고유값과 고유벡터를 계산하는 방법을 알아보자.

(1)   \[\begin{aligned} A\mathbf{x} &= \lambda \mathbf{x} \\ (A - \lambda I)\mathbf{x} &= \mathbf{0}  \end{aligned}\]

위의 식에서 (A - \lambda I) 는 특이행렬이어야 \mathbf{0} 이 아닌 고유벡터가 존재한다. 즉, (A - \lambda I) 의 판별식이 0 이어야 한다.

(2)   \[det(A - \lambda I) = 0 \]

식 (2) 는 \mathbf{x} 가 빠진 \lambda 에 대한 식이다.1 n \times n 행렬이라면 이것은 \lambda 에 대한 n 차 방정식이 되며, 복소수 범위 내에서 중복 가능한 n 개의 해 \lambda_i 가 존재한다.

    \[det(A - \lambda I) = (\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2) \dots (\lambda - \lambda_n) = 0\]

고유값 \lambda_i 를 구하고 나면 식 (1) 에서 그에 맞는 고유벡터 \mathbf{x}_i 를 구할 수 있다. (A - \lambda_i I) 는 특이행렬이 되기 때문에 \mathbf{x}_i 는 영공간의 해가 된다.

ex)

A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} 의 고유값, 고유벡터를 구해보자. A 의 두번째 열은 첫번째 열의 3 배다. 즉, A 는 특이행렬이므로 고유값은 0 을 포함한다는 것을 알 수 있다.

    \[\begin{aligned} det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 3 \\ 2 & 6 -\lambda \end{vmatrix} = (1 - \lambda)(6 - \lambda) - 6 &= 0 \\ \lambda^2 - 7\lambda &= 0 \\ \lambda(\lambda - 7) &= 0 \end{aligned}\]

A 의 고유값은 \lambda_1 = 0, \lambda_2 = 7 이다. 고유벡터는 (A - \lambda I)x = 0 의 해를 구하면된다.

    \[(A - \lambda_1 I) \mathbf{x}_1 = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} \mathbf{x}_1 = 0, \quad \mathbf{x}_1 = c_1 \begin{bmatrix} -3 \\ 1 \end{bmatrix}\]

    \[(A - \lambda_2 I) \mathbf{x}_2 = \begin{bmatrix} -6 & 3 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \mathbf{x}_2 = 0, \quad \mathbf{x}_2 = c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\]

Check

모든 \lambda_i 의 곱과, 모든 \lambda_i 의 합은 A 로 부터 간단히 구할 수 있다.

    \[\begin{aligned} det(A) &= \lambda_1 \lambda_2 \dots \lambda_n \\ trace(A) &= \lambda_1 + \lambda_2 + \dots \lambda_n \end{aligned}\]

det(A - \lambda I) = 0n 개의 항의 곱이므로 아래와 같이 쓸 수 있다.

    \[det(A - \lambda I) = (\lambda_1 - \lambda) (\lambda_2 - \lambda) \dots (\lambda_n - \lambda) = 0\]

\lambda0 을 대입하면,

    \[det(A) = \lambda_1 \lambda_2 \dots \lambda_n\]

n = 2 일 때를 가정하면,

    \[A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, \begin{aligned} \quad det(A - \lambda I) &= \begin{vmatrix} a - \lambda & b \\ c & d - \lambda \end{vmatrix} \\ &= \lambda^2 - (a + d)\lambda + ad - bc = 0 \end{aligned}\]

해는 \frac{(a + d) + \sqrt{\dots}}{2}\frac{(a + d) - \sqrt{\dots}}{2} 이므로 두개의 해를 더하면 a + d 가 된다. 일반적으로 n \times n 행렬의 대각성분의 합은 모든 고유값의 합과 같다.

    \[trace(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + \dots \lambda_n\]

A^T 의 고유값

고유값은 아래의 특성 방정식으로 구했다.

    \[det(A - \lambda I) = 0\]

det(A) = det(A^T) 이므로,

    \[det(A - \lambda I) = det((A - \lambda I)^T) = det(A^T - \lambda I) = 0\]

즉, AA^T 는 같은 고유값들을 가진다.


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  1. 이것을 특성 방정식(Characteristic equation) 이라고 부른다.

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