선형대수 note 28: Similar matrices and jordan form

양정부호 행렬들

지난 강의에 이어서 양정부호 행렬에 대해 잠깐 더 살펴보자.
A 가 양정부호 행렬이라면 양의 고유값들 \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n 을 가진다. 그렇다면 양의 고유값들 \frac{1}{\lambda_1}, \frac{1}{\lambda_2}, \dots, \frac{1}{\lambda_n} 을 가지는 행렬 A^{-1} 역시 양정부호 행렬이다.

    \[\begin{aligned} Ax &= \lambda x \\ A^{-1}Ax &= \lambda A^{-1} x \\ \frac{1}{\lambda} x &= A^{-1} x \end{aligned}\]

AB 가 양정부호 행렬이라면 \mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0\mathbf{x}^T B \mathbf{x} > 0 이 성립한다. \mathbf{x}^T (A + B) \mathbf{x} > 0 역시 성립하므로 A + B 도 양정부호 행렬이다.

A^TA 는 양정부호

Am \times n 행렬이라고 하면 A^TA 는,

1. m \times n 곱하기 n \times m 행렬이므로 A^TA 는 정방행렬이다.
2. (A^TA)^T = A^TA 이므로 대칭행렬이다.
3. 양정부호 행렬이다. (적어도 양준정부호 행렬이다)

3 번은 A^TA \mathbf{x} 의 좌측에 \mathbf{x}^T 를 곱하면,

    \[\begin{aligned} \mathbf{x}^T A^T A \mathbf{x} &= (A\mathbf{x})^T A\mathbf{x} \\ &= |A\mathbf{x}|^2 \ge 0 \end{aligned}\]

A 의 열들이 선형독립이라면 A\mathbf{x}\mathbf{0} 일 조건은 오직 \mathbf{x} = 0 이므로 A^TA 는 양정부호 행렬이다.

닮음 행렬 (Similar Matrix)

B = M^{-1} A M 관계인 임의의 정방행렬 A, B 는 닮음행렬 (Similar Matrix) 이다. 닮음행렬의 고유값들은 같고, 각 고유값에 대응하는 고유벡터의 개수도 같다.

    \[\begin{aligned} A\mathbf{x} &= \lambda \mathbf{x} \\ A M M^{-1} \mathbf{x} &= \lambda \mathbf{x} \\ M^{-1} A M M^{-1} \mathbf{x} &= \lambda M^{-1} \mathbf{x} \\ B M^{-1} \mathbf{x} &= \lambda M^{-1} x \\ B \mathbf{y} &= \lambda \mathbf{y} \\ \end{aligned}\]

이렇게 AB 의 고유값은 같고, B 의 고유벡터 \mathbf{y}A 의 고유벡터 \mathbf{x}\mathbf{y} = M^{-1} \mathbf{x} 인 관계에 있다.
A 가 대각화 가능하다면 A\Lambda 와 닮음행렬이다. 이것은 A 의 닮음행렬들 중에서 S^{-1}AS = \Lambda 를 통해서 대각행렬 \Lambda 를 찾은 것이다. A 가 대각화 가능하다면 \Lambda 는 같은 닮음 Family 의 대표 행렬이다.

Jordan form

임의의 정방행렬 A 의 고유벡터들이 항상 선형독립이라면 S^{-1}AS = \Lambda 는 항상 성립할 것이고, 닮음 Family 들은 모두 \Lambda 형태의 행렬을 포함할 것이다. 그러나 현실은 고유벡터들이 선형종속일 수 있다. (랜덤한 행렬이 그럴 확률은 희박하지만..) 이때는 \Lambda 형태의 대각행렬을 좀 더 일반화한 행렬 J 가 Family 의 대표가 된다. 즉, 모든 정방행렬은 대각화 가능 여부와 상관없이 M^{-1} A M = J 로 Jordan form 으로 바꿀 수 있다. J 를 Jordan 행렬이라고 부르고, \Lambda 는 Jordan 행렬의 한가지 특수한 형태다.

    \[J =  \underbrace{\begin{bmatrix} \boxed{J_1} \\ & \boxed{J_2} \\ & & \ddots \\ & & & \boxed{J_d} \\ \end{bmatrix}}_{\text{Jordan normal form}} \quad J_i =  \underbrace{\begin{bmatrix} \lambda_i & 1 \\ & \lambda_i & 1 \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda_i  \end{bmatrix}}_{\text{Jordan Block}}\]

Jordan 행렬에 포함된 각각의 Jordan 블록 J_i 의 대각성분은 중복된 고유값이고, 블록의 크기는 고유값에 대응되는 고유벡터 개수와 같다. AB 가 닮음행렬이라는 것은 같은 Jordan form 을 갖는다는 의미이다. 대각화 가능하다면 모든 Jordan 블록들이 1\times 1 크기이고, Jordan form 은 대각행렬 \Lambda 가 된다.


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