선형대수 note 30: Linear Transformations and Their Matrices

선형 변환은 계산을 하려면 행렬과 좌표가 필요하지만 행렬과 좌표가 없어도 표현이 가능하다.

선형변환을 좌표 없이 표현

벡터 공간 \mathbb{R}^2 에서 \mathbb{R}^2 로의 선형 변환 T 는 다음과 같이 쓸 수 있다.

    \[T : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\]

T 가 투영변환일 경우 \mathbb{R}^2 안의 모든 벡터 \mathbf{v} 는 라인위에 있는 T(\mathbf{v}) 로 매핑된다. 좌표가 없으므로 기하학적인 그림으로 밖에 표현할 수 없다.

선형성 (Linearity)

변환 T 는 모든 \mathbf{v}\mathbf{w} 에 대해서 아래를 만족한다면 선형 (Linear) 이다.

    \[\begin{aligned} T(\mathbf{v} + \mathbf{w}) &= T(\mathbf{v}) + T(\mathbf{w}) \\ T(c\mathbf{v}) &= cT(\mathbf{v}) \end{aligned}\]

한줄로 표현하면

    \[T(c\mathbf{v} + d\mathbf{w}) &= cT(\mathbf{v}) + dT(\mathbf{w})\]

투영 변환 외에도 회전 변환, 스케일 변환등은 선형성을 유지하는 선형 변환이다.

선형변환을 좌표와 행렬로 표현

모든 종류의 선형 변환은 좌표가 명시되어 있으면 행렬로 표현할 수 있다. 다르게 말하면 선형 변환은 행렬 곱셈의 추상적 표현이다.

    \[\begin{aligned} T(\mathbf{v}) &= A\mathbf{v} \\ A(c\mathbf{v} + d\mathbf{w}) &= cA\mathbf{v} + dA\mathbf{w} \end{aligned}\]

모든 선형 변환 T : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^mm\times n 행렬의 곱셈으로 표현할 수 있다.

선형 변환 T(\mathbf{v})

모든 입력 \mathbf{v} 에 대해서 모든 출력 T(\mathbf{v}) 를 알려면 얼만큼의 정보가 필요할까? T 가 벡터 \mathbf{v}_1 을 어떻게 변환하는지 안다면, c\mathbf{v}_1 에 대해서도 어떻게 변환되는지 알 수 있다. T 가 선형 독립인 벡터 \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 를 어떻게 변환하는지 안다면, c\mathbf{v}_1 + d\mathbf{v}_2 인 평면의 모든 벡터들에 대해서도 어떻게 변환되는지 알 수 있다. \mathbb{R}^n 의 모든 벡터들 \mathbf{v} 가 어떻게 변환되는지 알고 싶다면 기저벡터들 \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n 의 결과인 T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) 들을 알면 된다. \mathbf{v} 는 입력 공간 기저의 선형결합으로 표현할 수 있고 T 가 선형변환이기 때문이다.

    \[\begin{aligned} \mathbf{v} &= c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \dots + c_n \mathbf{v}_n \\ T(\mathbf{v}) &= c_1 T(\mathbf{v}_1) + c_2 T(\mathbf{v}_2) + \dots + c_n T(\mathbf{v}_n) \end{aligned}\]

기저의 계수 c_i 는 좌표가 된다. 좌표는 기저를 기반으로 표시한다. 기저가 바뀌면 같은 벡터의 좌표도 바뀐다. 다른 말로 하면 좌표가 같다고 해도 기저가 다르다면 다른 벡터라고 할 수 있다. 일반적으로 쓰는 3차원 좌표는 표준기저벡터 \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix} 의 계수다.

선형 변환 행렬

행렬은 입력 좌표 (입력 기저의 좌표) 를 출력 좌표 (출력 기저의 좌표) 로 변환한다. 입력 기저가 \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n 이고, 출력 기저가 \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \dots, \mathbf{w}_m 일 때 각 입력기저들에 대한 선형변환은 출력 기저들의 선형 결합으로 나타낼 수 있다. 이를 통해 행렬 A 의 성분을 알 수 있다.

    \[\begin{aligned} T(\mathbf{v}_1) &= a_{11}\mathbf{w}_1 + a_{21}\mathbf{w}_2 + \dots + a_{m1}\mathbf{w}_m \\ T(\mathbf{v}_2) &= a_{12}\mathbf{w}_1 + a_{22}\mathbf{w}_2 + \dots + a_{m2}\mathbf{w}_m \\ \vdots \\ T(\mathbf{v}_n) &= a_{1n}\mathbf{w}_1 + a_{2n}\mathbf{w}_2 + \dots + a_{mn}\mathbf{w}_m  \end{aligned} \quad A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}\]


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