Radiosity 를 계산할 때 사용되는 Form Factor 를 Rendering Equation 으로부터 유도해 보겠습니다.
위치의 미소 표면이 Scene 의 모든 표면들(surfaces) 로부터 radiance 를 받을 때
의 반사 radiance 를 구하는 렌더링 방정식을 써보면,
여기서 는 반사 방향 벡터,
는 입사 방향 벡터,
은 BRDF,
은
에서
가 보이는가에 대한 visibility 함수,
는 씬 전체의 표면입니다.
는 모든 방향에 동일한 emissive radiance 를 나타내고, 모든 표면이 완전한 diffuse (산란) 반사를 할경우
은 Lambertian BRDF 식에 의해
이 됩니다. 그러므로 식을 다시 쓰면,
이번에는 diffuse radiance 를 적분해서 x 위치의 미소표면의 radiosity 를 구하면,
즉, 로 나타낼 수 있습니다. 이를 이용해서 다시 아까 식을 고쳐쓰고 양변에
를 곱하면,
(1)
이것이 radiosity 의 integral form 입니다.
일반적으로 radiosity 를 계산할 때는 patch 라고 불리는 작은 sub-표면 단위로 계산을 합니다.
표면의 평균적인 radiosity 는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.
식(1) 을 위의 식에 대입하면,
patch 단위로 가 동일하다고 가정하면,
(2)
여기서 를 form factor 라고 부릅니다.
form factor 는 식으로 부터 아래의 성질이 있습니다.
식 (2) 의 양변에 를 곱하면 radiant power (
) 에 대한 식으로 깔끔하게 나타낼 수 있습니다.
(3)
식 (3) 의 form factor 는
패치에서 나오는 radiant power 가
패치에 도착하는 비율이라고 볼 수 있습니다 (
는 그 반대). 한가지 주의할 것은 식 (2) 의 radiosity 에는 form factor 가 반대라는 것입니다.
참고.
Advanced Global Illumination (A K Peters)